2016年 城北埼玉中 算数 問1(6) ～等積部分の発見～

2016年の城北埼玉中。

実は、ある有名な図形を変形したものです。

以下の解説では、ひとまずそれには触れず、一般的な解法で解いています。

「等積部分の発見」を利用すると、計算が省けて良いですよ。

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解き方のポイント

この問題では、斜線部分を直接計算するよりも、面積の等しい図形を見つけることがポイントです。解説図では、三角形ABCを「ア」、その外側にある白い部分を「イ」、斜線部分を「ウ」としています。

「ア＋イ」は、Aを中心とする半径4cm、中心角90°のおうぎ形です。その面積は、4×4×3.14÷4＝4×3.14（cm²）となります。

次に、BCを直径とする半円「イ＋ウ」の面積を考えます。その半径を□cmとすると、解説図の小さな正方形の一辺も□cmです。この正方形は対角線がどちらも4cmなので、面積は4×4÷2＝8（cm²）。したがって、□×□＝8と分かります。半径そのものを求める必要はありません。

半円「イ＋ウ」の面積は、□×□×3.14÷2＝8×3.14÷2＝4×3.14（cm²）。つまり、「ア＋イ」と「イ＋ウ」の面積は等しくなります。

両方から共通する「イ」を取り除くと、「ア＝ウ」です。三角形ABCはAB＝AC＝4cmの直角二等辺三角形なので、斜線部分の面積は4×4÷2＝8cm²です。共通部分を引いて、曲線で囲まれた部分を三角形に置き換えるのが、この解法の着眼点です。

ところで、先ほどの「ある有名な図形」とは、「ヒポクラテスの三日月」のことです。

イとウを、BCに関して対称移動すると、ヒポクラテスの三日月となります。